Advertising 468 x 60

Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus Dasar

1.  f(x) = sin x  →  f '(x) = cos x
2.  f(x) = cos x  →  f '(x) = −sin x
3.  f(x) = tan x  →  f '(x) = sec2 x
4.  f(x) = cot x  →  f '(x) = −csc2 x
5.  f(x) = sec x  →  f '(x) = sec x . tan x
6.  f(x) = csc x  →  f '(x) = −csc x . cot x

Tips
Setiap fungsi trigonometri yang dimulai dengan huruf c, maka turunannya akan bernilai negatif.

Perluasan Rumus

Jika u merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u' merupakan turunan u terhadap x, maka :
1.  f(x) = sin u  →  f '(x) = cos u . u'
2.  f(x) = cos u  →  f '(x) = −sin u . u'
3.  f(x) = tan u  →  f '(x) = sec2u . u'
4.  f(x) = cot u  →  f '(x) = −csc2 u . u'
5.  f(x) = sec u  →  f '(x) = sec u tan u . u'
6.  f(x) = csc u  →  f '(x) = −csc u cot u . u'

    Contoh 1
    Tentukan turunan dari y = sin 4x !
         Penyelesaian :
         Misalkan :
         u = 4x   ⇒   u' = 4

         y' = cos u . u'
         y' = cos 4x . 4
         y' = 4cos 4x


    Contoh 2
    Tentukan turunan dari y = cos x2
         Penyelesaian :
         Misalkan :
         u = x2   ⇒   u' = 2x

         y' = −sin u . u'
         y' = −sin x2  . 2x
         y' = −2x sin x2


    Contoh 3
    Tentukan turunan dari y = tan (2x+1)
         Penyelesaian :
         Misalkan :
         u = 2x + 1   ⇒   u' = 2

         y' = sec2u . u'
         y' = sec2(2x+1) . 2
         y' = 2sec2(2x+1)


    Contoh 4
    Tentukan turunan dari y = sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x
         Penyelesaian :
         Misalkan :
         u = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x   ⇒   u' = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)

         y' = sec u tan u . u'
         y' = sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x . \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
         y' = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x

    Turunan y = [u(x)]n

    Misalkan y = [u(x)]n dengan u(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut :
    $$\mathrm{y'=n\left [ u(x) \right ]^{n-1}.u'(x)}$$

    Contoh 5
    Tentukan turunan dari y = cos57x
         Penyelesaian :
         y = [cos 7x]5

         Misalkan :
         u(x) = cos 7x   ⇒   u'(x) = −7sin 7x
         n = 5

         y' = n[u(x)]n-1. u'(x)
         y' = 5[cos 7x]5-1. −7sin 7x
         y' = −35 cos47x . sin 7x


    Contoh 6
    Tentukan turunan dari y = sin7(4x−3)
         Penyelesaian :
         y = [sin (4x−3)]7

         Misalkan :
         u(x) = sin (4x−3)   ⇒    u'(x) = 4cos (4x−3)
         n = 7

         y' = n[u(x)]n-1. u'(x)
         y' = 7[sin (4x−3)]7-1 . 4cos (4x−3)
         y' = 28 sin6(4x−3) cos (4x−3)

    Catatan
    Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari trigonometri.

    Latihan Soal Turunan Fungsi Trigonometri

    Latihan 1
    Tentukan turunan dari y = sin x2
         Jawab :  
         y' = cos x2 . 2x
    y     ' = 2x cos x2


    Latihan 2
    Tentukan turunan dari y = cos (3x+1)
         Jawab :
         y' = −sin (3x+1) . 3
         y' = −3sin (3x+1)


    Latihan 3
    Tentukan turunan dari f(x) = tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x
         Jawab :
         f '(x) = sec2\(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x . \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
         f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)sec2\(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x


    Latihan 4
    Tentukan turunan y = sin (x2+3x−1)
         Jawab :
         y' = cos (x2+3x−1) . (2x+3)
         y' = (2x+3) cos(x2+3x−1)


    Latihan 5
    Tentukan turunan dari y = sec 2x
         Jawab :
         y' = sec 2x tan 2x . 2
         y' = 2sec 2x tan 2x


    Latihan 6
    Tentukan turunan dari y = cos (2x+1)4
         Jawab :
         y' = −sin (2x+1)4 . 4(2x+1)4-1 . 2
         y' = −8(2x+1) sin(2x+1)4


    Latihan 7
    Tentukan turunan dari y = tan53x
         Jawab :
         y' = 5tan43x . sec23x . 3
         y' = 15 tan43x sec23x


    Latihan 8
    Tentukan turunan dari y = cos4(5x+2)
         Jawab :
         y' = 4cos3(5x+2)−sin (5x+2) . 5
         y' = −20 cos3(5x+2) sin(5x+2)


    Latihan 9
    Tentukan turunan y = sin6(x2+3x)
         Jawab :
         y' = 6 sin5(x2+3x) . cos(x2+3x). (2x + 3)
         y' = 6(2x + 3) sin5(x2+3x) . cos(x2+3x)


    Latihan 10
    Tentukan f '(x) dari :
    a.  f(x) = 3sin 2x + 4cos x
    a.  Jawab :
    a.  f '(x) = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x
    a.  f '(x) = 6cos 2x − 4sin x

    b.  f(x) = tan 2x − csc x
    b.  Jawab :
    b.  f '(x) = sec22x . 2 − (−csc x ctg x)
    b.  f '(x) = 2sec22x + csc x ctg x

    c.  f(x) = sec 4x + tan (x+1)
    c.  Jawab :
    c.  f '(x) = sec 4x tan 4x . 4 + sec2(x+1) . 1
    c.  f '(x) = 4sec 4x tan 4x + sec2(x + 1)


    Latihan 11
    Tentukan turunan dari y = x2 cos 2x
         Jawab :
         Misalkan :
         u = x2  ⇒  u' = 2x
         v = cos 2x ⇒ v' = −2 sin 2x

         y' = u'.v + u.v'
         y' = 2x . cos 2x + x. −2 sin 2x
         y' = 2x cos 2x − 2xsin 2x
         y' = 2x(cos 2x − x sin 2x)


    Latihan 12
    Tentukan turunan dari f(x) = (1 + sin2x)7
         Jawab :
         u(x) = (1 + sin2x)  ⇒  u'(x) = 2sin x cos x
         n = 7

         f '(x) = 7(1 + sin2x)7-1 . 2sin x cos x
         f '(x) = 7 (1 + sin2x). sin 2x
         f '(x) = 7sin 2x  (1 + sin2x)6


    0 Response to "Turunan Fungsi Trigonometri"

    Posting Komentar

    Iklan Atas Artikel

    Iklan Tengah Artikel 1

    Iklan Tengah Artikel 2

    Iklan Bawah Artikel