Advertising 468 x 60

Persamaan Garis Singgung Kurva


Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\) dengan gradien m merupakan : $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik \((1, 4)\) dengan m = 3 merupakan
y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :
  • y = ax + b          ⇒ m = a
  • ax + by + c = 0  ⇒ m = \(\mathrm{-\frac{a}{b}}\)
    Contoh :
    1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
    2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = \(\mathrm{-\frac{6}{-2}}\) = 3

      Gradien garis yang melalui titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\) dan \(\mathrm{\left ( x_{2},y_{2} \right )}\)  merupakan :
      $$\mathrm{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

      Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif merupakan :
      $$\mathrm{m=tan\:\alpha}$$
      Gradien Garis A dan B :
      • Sejajar : \(\mathrm{m_{A}=m_{B}}\)
      • Tegak lurus : \(\mathrm{m_{A}\cdot m_{B}=-1}\)

        Persamaan Garis Singgung Kurva

        Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\). Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut merupakan $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$
        dengan \(\mathrm{m=f'(x_{1})}\)



        Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva


        Contoh 1
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{2}+2x}\) dititik \((1,\:3)\) merupakan ...

        Jawab :
        Titik singgung : (1, 3)

        f(x) = x2 + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
        m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
        ⇒ m = 4

        PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 merupakan
        y − 3 = 4(x − 1)
        y − 3 = 4x − 4
        y = 4x − 1


        Contoh 2
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=2x-3x^{2}}\) di titik dengan absis 2 merupakan

        Jawab :
        Absis (x) = 2
        y = 2x − 3x2
        y = 2(2) − 3(2)2
        y = −8
        Titik singgung :  (2, −8)

        f(x) = 2x − 3x2  ⇒  f '(x) = 2 − 6x
        m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
        ⇒ m = −10

        PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 merupakan
        y − (−8) = −10(x − 2)
        y + 8 = −10x + 20
        y = −10x + 12


        Contoh 3
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=2\sqrt{x}}\) di titik dengan ordinat 2 merupakan

        Jawab :
        Ordinat (y) = 2
        y  = 2√x
        2 = 2√x
        1 = √x
        x = 1
        Titik singgung : (1, 2)

        f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)
        m = f '(1) = \(\frac{1}{\sqrt{1}}\)
        ⇒ m = 1

        PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 merupakan
        y − 2 = 1(x − 1)
        y − 2 = x − 1
        y = x + 1


        Contoh 4
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{2}+5}\) yang sejajar dengan garis \(\mathrm{2x-y+3=0}\) merupakan

        Jawab :
        Misalkan :
        m1 = gradien garis
        m2 = gradien garis singgung

        2x − y + 3 = 0  ⇒  m1 = 2

        Sejajar : m1 = m2
        m2 = 2

        f(x) = x2 + 5   ⇒  f '(x) = 2x
        m= f '(x)
        2 = 2x
        x = 1

        y = x2 + 5
        y = (1)2 + 5
        y = 6
        Titik singgung : (1, 6)

        PGS di titik (1, 6) dengan m= 2 merupakan
         6 = 2(x  1)
        y = 2x  2 + 6
        y = 2x + 4


        Contoh 5
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=3-x^{2}}\) yang tegak lurus terhadap garis \(\mathrm{4y=x+1}\) merupakan

        Jawab :
        Misalkan :
        m1 = gradien garis
        m2 = gradien garis singgung

        4y = x + 1  ⇒  m1 = \(\frac{1}{4}\)

        Tegak lurus : m1 . m2 = −1
        \(\frac{1}{4}\) . m2 = −1
        ⇒  m= −4

        f(x) = 3 − x2  ⇒  f '(x) = −2x
        m= f '(x)
        −4 = −2x
        x = 2

        y = 3 − x2
        y = 3 − (2)2
        y = −1
        Titik singgung : (2, −1)

        PGS di titik (2, −1) dengan m2 = −4 merupakan 
        y − (−1) = −4(x − 2)
        y + 1 = −4x + 8
        y = −4x + 7


        Contoh 6
        Tentukan persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=\sqrt{x}-2}\) di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !

        Jawab :
        Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0

        y = √x − 2
        0 = √x − 2
        √x = 2
        x = 4
        Titik singgung : (4, 0)

        f(x) = √x − 2  ⇒  \(\mathrm{f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)
        m = f '(4) = \(\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\)
        ⇒ m = \(\frac{1}{4}\)

        PGS di titik (4, 0) dengan m = \(\frac{1}{4}\) merupakan  
        y − 0 = \(\frac{1}{4}\)(x − 4)
        y = \(\frac{1}{4}\)x − 1


        Contoh 7
        Tentukan persamaan garis normal kurva \(\mathrm{y=x^{2}}\) yang sejajar dengan garis \(\mathrm{x+4y-5=0}\) !

        Jawab :
        Garis normal merupakan garis yang melalui titik singgung kurva dan tegak lurus terhadap garis singgung kurva di titik tersebut.

        Misalkan :
        m1 = gradien garis
        m2 = gradien garis singgung
        mn = gradien garis normal

        x + 4y − 5 = 0 ⇒ m1 = \(-\frac{1}{4}\)

        Diketahui garis normal sejajar dengan garis x + 4y − 5 = 0, maka :
        mn = m
        ⇒ mn = \(-\frac{1}{4}\)

        Karena garis singgung dan garis normal saling tegak lurus, maka :
        m2 .mn = −1
        m2 .\(-\frac{1}{4}\) = −1
        m2 = 4

        f(x) = x2  ⇒  f '(x) = 2x
        m2 = f '(x)
        4 = 2x
        x = 2

        y = x2
        y = (2)2
        y = 4
        Titik singgung : (2, 4)

        Persamaan garis normal merupakan persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dengan \(\mathrm{m_{n}=-\frac{1}{4}}\), yaitu :
         4 = \(-\frac{1}{4}\)(x  2)
         4 = \(-\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{2}\)
        y = \(-\frac{1}{4}\)x + \(\frac{9}{2}\) atau
        x + 4y − 18 = 0


        Contoh 8
        Garis y = x memotong kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x+4}\) di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !

        Jawab :
        Misalkan :
        y1 = x2 − 4x + 4
        y2 = x

        Titik potong P dan Q :
        y1 = y2
        x2 − 4x + 4 = x
        x2 − 5x + 4 = 0
        (x − 1)(x − 4) = 0
        x = 1   x = 4

        Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :
        x = 1 ⇒ y = 1
        x = 4 ⇒ y = 4
        Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)

        f(x) = x2 − 4x + 4  ⇒  f '(x) = 2x − 4
        mP = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
        mP = −2
        mQ = f '(4) = 2(4) − 4 = 4
        mQ = 4

        PGS di titik P(1,1) dengan mP = −2 merupakan 
         1 = 2(x  1)
        y = 2x + 3

        PGS di titik Q(4, 4) dengan mQ = 4  merupakan
         4 = 4(x  4)
        y = 4x  12


        Contoh 9
        Tentukan persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x+6}\) yang melalui titik \((2, 1)\) !

        Jawab :
        Uji titik (2, 1)
        y = x− 4x + 6
        1 = (2)− 4(2) + 6
        1 ≠ 2
        Karena tidak memenuhi persamaan kurva, maka titik (2, 1) bukan titik singgung.

        Cari titik singgung pada kurva sehingga garis singgungnya melalui titik (2, 1).
        f(x) = x− 4x + 6   ⇒  f '(x) = 2x − 4
        m = f '(x)
        ⇒ m = 2x − 4

        Persamaan garis di titik (2, 1) dengan \(\mathrm{m = 2x − 4}\) merupakan
        y − 1 = (2x − 4)(x − 2)
        y − 1 = 2x− 8x + 8
        y = 2x− 8x + 9

        Substitusi persamaan diatas ke persamaan kurva :
        2x− 8x + 9 = x− 4x + 6
        x− 4x + 3 = 0
        (x − 1)(x − 3) = 0
        x = 1   x = 3

        x = 1 ⇒  y = (1)− 4(1) + 6 = 3
        x = 3 ⇒  y = (3)− 4(3) + 6 = 3
        Titik singgung : A(1, 3) dan B(3, 3)

        f '(x) = 2x − 4
        mA = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
        mA = −2
        mB = f '(3) = 2(3) − 4 = 2
        ⇒ mB = 2

        PGS di titik A(1, 3) dengan mA = −2  merupakan
        y − 3 = −2(x − 1)
        y = −2x + 5

        PGS di titik B(3, 3) dengan mB = 2 merupakan
        y − 3 = 2(x − 3)
        y = 2x − 3

        Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik \((2, 1)\) dan menyinggung kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x+6}\) merupakan  \(\mathrm{y = -2x + 5}\)  dan \(\mathrm{y = 2x − 3}\)


        Contoh 10
        Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

        Jawab :
        m = tan 45° = 1
        m = 1

        f(x) = √x  ⇒  f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)
        m = f '(x)
        1 = \(\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)
        2√x = 1
        √x = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
        x = \(\mathrm{\frac{1}{4}}\)

        y = √x
        y = \(\mathrm{\sqrt{\frac{1}{4}}}\)
        y = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
        Titik singgung : P\(\mathrm{\left ( \frac{1}{4}\:,\:\frac{1}{2} \right )}\)

        PGS di titik P\(\mathrm{\left ( \frac{1}{4}\:,\:\frac{1}{2} \right )}\) dengan \(\mathrm{m = 1}\) merupakan
        y − \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) = 1\(\mathrm{\left ( x-\frac{1}{4} \right )}\)
        \(\mathrm{y=x+\frac{1}{4}}\)   atau  4x − 4y + 1 = 0


        Contoh 11
        Garis k menyinggung kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x-3+2a}\) di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q \((8, 2)\), tentukan nilai a !

        Jawab :
        Absis (x) = 4
        y = x− 4x − 3 + 2a
        y = (4)− 4(4) − 3 + 2a
        y = 2a − 3
        Titik singgung P(4, 2a − 3)

        Cari gradien garis singgung k :
        f(x) =  x− 4x − 3 + 2a 
        f '(x) = 2x − 4
        mk = f '(4) = 2(4) − 4
        ⇒ mk = 4

        Garis l tegak lurus garis k maka :
        ml . mk = −1
        ml . 4 = −1
        ml = \(\mathrm{-\frac{1}{4}}\)

        Ingat :
        Gradien garis yang melalui titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\) dan \(\mathrm{\left ( x_{2},y_{2} \right )}\)  merupakan :
        $$\mathrm{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$
        Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :
        ⇔  ml = \(\mathrm{\frac{2-(2a-3)}{8-4}}\)
        ⇔  \(\mathrm{-\frac{1}{4}}\) = \(\mathrm{\frac{5-2a}{4}}\)
        ⇔  −1 = 5 − 2a
        ⇔  2a = 6
        ⇔  a = 3


        Contoh 12
        Jika garis \(\mathrm{x-2y=0}\) menyinggung kurva \(\mathrm{y=a-\frac{2}{x}}\) dikuadran III, tentukan nilai a !

        Jawab :
        x − 2y = 0 ⇒ m = \(\frac{1}{2}\)

        f(x) = a − \(\mathrm{\frac{2}{x}}\)  ⇒  f '(x) = \(\mathrm{\frac{2}{x^2}}\)
        m =  f '(x)
        \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{x^2}}\)
        x= 4
        x = ±2
        Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.
        ⇒  x = −2

        x − 2y = 0
        −2 − 2y = 0
        −2y = 2
        y = −1
        Titik singgung : (−2, −1)

        Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :
        y = a − \(\mathrm{\frac{2}{x}}\)
        −1 = a − \(\mathrm{\frac{2}{(-2)}}\)
        −1 = a + 1
        ⇒ a = −2


        Contoh 13
        Garis \(\mathrm{y=4x+1}\) menyinggung kurva \(\mathrm{y=ax^{2}+bx}\) di titik dengan absis 2. Tentukan nilai \(\mathrm{4a-b}\) !

        Jawab :
        Absis (x) = 2 

        y = 4x + 1
        y =4(2) + 1
        y = 9
        Titik singgung : (2, 9)

        Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :
        y = ax+ bx
        9 = a(2)+ b(2)
        4a + 2b = 9 ...................................... (1)

        y = 4x + 1  ⇒  m = 4
        f(x) = ax+ bx   ⇒   f '(x) = 2ax + b
        m = f '(2)
        4 = 2a(2) + b
        4a + b = 4  ....................................... (2)

        Eliminasi (1) dan (2) :
        4a + 2b = 9
        4a + b = 4    _
        4a + b = 5

        Dari persamaan (2) :
        4a + b = 4
        4a + 5 = 4
        4a = -1

        Jadi, 4a - b = -1 - 5 = -6


        0 Response to "Persamaan Garis Singgung Kurva"

        Posting Komentar

        Iklan Atas Artikel

        Iklan Tengah Artikel 1

        Iklan Tengah Artikel 2

        Iklan Bawah Artikel