Advertising 468 x 60

Grafik Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat : $$\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}$$ dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

Jika digambarkan pada bidang koordinat, maka grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari nilai a, b dan c fungsi kuadrat tersebut.

Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat y = f(x)

Diberikan grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\).
  1. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya merupakan titik balik minimum.
  2. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya merupakan titik balik maksimum. 

 maka grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung Grafik Fungsi Kuadrat


Hubungan nilai diskriminan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-x :
  1. D > 0 : Parabola memotong sumbu-x di dua titik.
  2. D = 0 : Parabola menyinggung sumbu-x
  3. D < 0 : Parabola tidak memotong sumbu-x
dengan : D = b2 − 4ac

 maka grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung Grafik Fungsi Kuadrat


Posisi titik puncak grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-y :
  1. ab > 0 : Titik puncak berada disebelah kiri sumbu-y
  2. b = 0 : Titik puncak berada pada sumbu-y
  3. ab < 0 : Titik puncak berada disebelah kanan sumbu-y

Titik potong sumbu-y grafik fungsi kuadrat :
  1. c > 0 : Parabola memotong sumbu y positif
  2. c = 0 : Parabola memotong sumbu y di titik (0,0)
  3. c < 0 : Parabola memotong sumbu-y negatif

Contoh 1
Jika grafik \(\mathrm{f(x)=x^{2}+(m+3)x+2m+3}\) memotong sumbu-x di dua titik, maka batas-batas nilai m yang memenuhi merupakan...

Jawab :
a = 1
b = m + 3
c = 2m + 3

Grafik memotong sumbu-x di dua titik, maka :
D > 0
b2 − 4ac > 0
(m + 3)2 − 4 . 1 (2m + 3) > 0
m2 + 6m + 9 − 8m −12 > 0
m2 − 2m − 3 > 0

Pembuat nol :
m2 − 2m − 3 = 0
(m + 1)(m − 3) = 0
m = −1 atau m = 3

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
m < −1 atau m > 3

Contoh 2
Jika grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}\) menyinggung garis \(\mathrm{y=px+q}\), tunjukkan bahwa (b − p)2 − 4a(c − q) = 0

Jawab :
Jika parabola menyinggung garis, maka diskriminan persamaan kuadrat gabungannya akan bernilai nol.
ax2 + bx + c = px + q
ax2 + bx − px + c − q = 0
ax2 + (b − p)x + c − q = 0

a = a
b = b − p
c = c − q

D = 0
b2 − 4ac = 0
(b − p)2 − 4a(c − q) = 0


Contoh 3
Grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=2x^{2}+kx+3}\) menyinggung garis \(\mathrm{y=2x+1}\). Untuk k > 0, maka nilai k yang memenuhi merupakan...

Jawab :
Cara I
2x2 + kx + 3 = 2x + 1
2x2 + kx − 2x + 3 − 1 = 0
2x2 + (k − 2)x + 2 = 0

a = 2
b = k − 2
c = 2

D = 0
b2 − 4ac = 0
(k − 2)2 − 4 . 2 . 2 = 0
k2 − 4k + 4 − 16 = 0
k2 − 4k − 12 = 0
(k + 2)(k − 6 ) = 0
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.

Cara II
f(x) = 2x2 + kx + 3
a = 2 ; b = k ; c = 3

y = 2x + 1
p = 2 ; q = 1

(b − p)2 − 4a(c − q) = 0
(k − 2)2 − 4 . 2 (3 − 1) = 0
k2 − 4k + 4 − 16 = 0
k2 − 4k − 12 = 0
(k + 2)(k − 6 ) = 0
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.

Definit Positif dan Definit Negatif

Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\) dikatakan definit positif jika f(x) selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real.

Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
Ciri-ciri grafik fungsi definit positif :
  • Grafik tidak memotong sumbu-x.
  • Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di atas sumbu-x.

Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\) dikatakan definit negatif jika f(x) selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real.

Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
Ciri-ciri grafik fungsi definit negatif :
  • Grafik tidak memotong sumbu-x
  • Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di bawah sumbu-x.

Contoh 4
Jika fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=3x^{2}+px+12}\) definit positif, maka batas-batas nilai p yang memenuhi merupakan...

Jawab :
a = 3
b = p
c = 12

Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
a > 0
3 > 0 (memenuhi)

D < 0
b2 − 4ac < 0
p2 − 4 . 3 . 12 < 0
p2 − 144 < 0

Pembuat nol :
p2 − 144 = 0
(p + 12)(p − 12) = 0
p = −12 atau p = 12

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
−12 < p < 12


Contoh 5
Fungsi \(\mathrm{f(x)=(m-3)x^{2}+2mx+m+2}\) akan menjadi fungsi definit negatif bila nilai m berada pada interval...

Jawab :
a = m − 3
b = 2m
c = m + 2

Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
a < 0
m − 3 < 0
m < 3 ...................................(1)

D < 0
b2 − 4ac < 0
(2m)2 − 4 (m − 3)(m + 2) < 0
4m2 − 4(m2 − m − 6) < 0
4m2 − 4m2 + 4m + 24 < 0
4m < −24
m < −6 ..................................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh irisan :
m < −6


0 Response to "Grafik Fungsi Kuadrat"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel