Advertising 468 x 60

Vektor dalam Kajian Matematika


Vektor merupakan segmen garis berarah yang dikarakteristikkan berdasarkan dua hal, yaitu panjang dan arahnya.

Vektor digambarkan menyerupai anak panah. Panjang anak panah merepresentasikan besar/nilai vektor, sedangkan arah anak panah merepresentasikan arah vektor.


Yang membedakan suatu vektor dengan vektor yang lain merupakan panjang dan arah masing-masing vektor, bukan dimana posisi ia ditempatkan. Oleh sebab itu, vektor dapat dipindah-pindah posisinya selama panjang dan arahnya tidak diubah.


Vektor dikatakan berada pada posisi stkamur, jika titik pangkalnya berada pada titik asal O, seperti pada gambar dibawah.


Vektor yang titik pangkalnya berada pada titik asal O disebut juga dengan vektor posisi.


Vektor dapat menjelaskan posisi suatu titik terhadap titik lainnya, dalam hal ini merupakan jarak sekaligus arah suatu titik terhadap titik lainnya.

Vektor PQ ditulis \(\mathrm{\overrightarrow{PQ}}\) merupakan segmen garis berarah dengan titik pangkal P dan titik ujung Q.


Vektor PQ menginformasikan dua hal, yaitu jarak dari titik P ke titik Q dan arah titik Q dari titik P.


Dalam matematika, vektor diberikan nama dengan menggunakan huruf kecil, seperti a, b, c, u, v dan lain-lain.

Untuk membedakan vektor dengan variabel, diberikan tkamu panah diatas huruf tersebut, atau bisa juga menggunakan huruf yang dicetak tebal.

\(\vec{a}\) dibaca "vektor a"
u dibaca "vektor u"
PQ dibaca "vektor PQ"



Komponen-Komponen Vektor

Vektor pada ruang dimensi dua (R2) mempunyai dua komponen stkamur, yaitu komponen sumbu x dan komponen sumbu y. Komponen-komponen ini dapat disajikan dalam bentuk vektor baris atau vektor kolom.

a = \(\begin{align}
[a_{1},a_{2}]
\end{align}      \)     →   vektor baris di R2

a = \(\begin{align}
\begin{bmatrix}
a_{1}\\a_{2}
\end{bmatrix}
\end{align}\)     →   vektor kolom di R2

Ketika a ditempatkan pada posisi stkamur, a1 merupakan titik hasil proyeksi a terhadap sumbu x, sedangkan a2 merupakan titik hasil proyeksi a terhadap sumbu y.


Vektor pada ruang dimensi tiga (R3) mempunyai tiga komponen stkamur, yaitu komponen sumbu x, y dan z.

b = \(\begin{align}
[b_{1},b_{2},b_{3}]
\end{align}\)     →   vektor baris di R3

b = \(\begin{align}
\begin{bmatrix}
b_{1}\\ b_{2}
\\ b_{3}
\end{bmatrix}
\end{align}\)     →   vektor kolom di R3

dimana b1 , b2 dan b3 berturut-turut merupakan titik hasil proyeksi b terhadap sumbu x, y, dan z pada sistem koordinat tiga dimensi.




Panjang Vektor

Panjang a dinotasikan dengan |a|. Atau sering pula dituliskan dengan ||a|| untuk membedakannya dengan tkamu mutlak.

Misalkan a = [a1 , a2] merupakan suatu vektor di R2 dan = [b1 , b2 , b3] merupakan suatu vektor di R3, seperti pada gambar.


Berdasarkan teorema phythagoras, maka panjang a dan b dirumuskan

|a| = \(\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}\)

|b| = \(\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}+{b_{3}}^{2}}\)


Contoh 1
Tentukan panjang vektor-vektor berikut!
u = [3 , -4]
v = [2 , 4 , -2]

Jawab :
Panjang u merupakan
|u| = \(\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5\)

Panjang v merupakan
|v| = \(\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{6}\)



Vektor Nol

Vektor nol dinotasikan dengan \(\vec{0}\) atau 0, yaitu suatu vektor yang panjangnya nol. Semua komponen-komponen dari vektor nol bernilai nol.

0 = [0, 0]       → vektor nol di R2
0 = [0, 0, 0]   → vektor nol di R3

Dua anak yang sedang menarik seutas tali berlawanan arah dengan gaya yang sama besar dapat kita representasikan sebagai vektor nol.




Penjumlahan Vektor

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan asalkan vektor-vektor tersebut berada pada ruang dimensi yang sama.

Secara geometris, ada dua metode yang sering digunakan pada penjumlahan vektor, yaitu metode segitiga dan metode jajar genjang.

Metode Segitiga
Tempatkan titik ujung a berhimpit dengan titik pangkal b. (tanpa mengubah panjang dan arah kedua vektor)


Jumlah atau resultan a dan b ditulis a + b merupakan ruas garis berarah yang ditarik dari titik pangkal a ke titik ujung b.

Metode jajar genjang
Tempatkan titik pangkal a berhimpit dengan titik pangkal b, kemudian bentuk sebuah jajar genjang.


Jumlah a dan b ditulis a + b merupakan diagonal jajar genjang yang ditarik dari titik pangkal a atau b.

Sifat-sifat pada penjumlahan vektor :
Komutatif : a + b = b + a
Asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c
Identitas : a + 0 = 0 + a = a
Invers : a + (-a) = 0

Komponen-komponen dari (a + b) diperoleh dengan cara menjumlahkan komponen-komponen yang seletak dari a dan b.

Misalkan a dan b merupakan vektor-vektor di R2.
Jika a = [a1 , a2] dan b = [b1 , b2] maka

a + b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)


Misalkan a dan b merupakan vektor-vektor di R3.
Jika a = [a1 , aa3] dan b = [b1 , b2 , b3] maka

a + b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}\\ a_{3}+b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)


Contoh 2
Jika a = [3, -2] dan b = [4, 1], maka a + b = ...

Jawab :
a + b \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
3\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
4\\ 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
7\\ -1
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, a + b = [7, -1]


Selain dua metode diatas, kita juga mengenal sebuah metode yang sering disebut dengan metode poligon. Konsepnya hampir sama dengan metode segitiga (ujung ke pangkal). Metode ini sangat cocok digunakan pada penjumlahan lebih dari dua vektor.




Pengurangan Vektor

Pengurangan a dengan b, ditulis a - b merupakan jumlah dari a dengan -b. Secara matematis,
a - b = a + (-b

dimana -b merupakan invers dari b, yaitu vektor yang sama panjang namun berlawanan arah dengan b.

Gambar dibawah memperlihatkan vektor a - b yang diperoleh dengan menggunakan metode segitiga.

Vektor (a - b) juga dapat kita tentukan secara cepat dengan menarik ruas garis berarah dari titik ujung b ke titik ujung a, setelah sebelumnya titik pangkal kedua vektor ditempatkan berhimpit, seperti pada gambar berikut.

Komponen-komponen dari (a - b) diperoleh dengan cara mengurangkan komponen-komponen yang seletak dari a dan b.

Misalkan a dan b merupakan vektor-vektor di R2.
Jika a = [a1 , a2] dan b = [b1 , b2] maka

a - b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)


Misalkan a dan b merupakan vektor-vektor di R3.
Jika a = [a1 , aa3] dan b = [b1 , b2 , b3] maka

a - b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2}\\ a_{3}-b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)


Contoh 3
Jika a = [3, 4, 2] dan b = [2, 0, -3], maka a - b = ...

Jawab :
a - b \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
3\\ 4
\\ 2
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2\\ 0
\\ -3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 5
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, a - b = [1, 4, 5]


Vektor Posisi

Vektor posisi merupakan suatu vektor yang merepresentasikan posisi suatu titik terhadap titik asal O.

Vektor posisi dari titik P, ditulis OP menjelaskan dua hal, yaitu jarak dari P ke O dan arah P dari O.


Dari gambar diatas dapat kita lihat bahwa komponen-komponen dari OP tidak lain merupakan koordinat dari titik P itu sendiri.

Jadi, vektor posisi dari titik P(x1y1) merupakan
OP = [x1y1].

Vektor posisi dapat menjelaskan hubungan antara komponen-komponen suatu vektor dengan koordinat titik pangkal dan titik ujung dari vektor tersebut.

Misalkan OP = p dan OQ = q berturut-turut merupakan vektor posisi dari titik P(x1y1) dan Q(x2y2).


Berdasarkan aturan segitiga, kita peroleh

PQ = q - p

Apabila kita libatkan komponen-komponennya, maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Jika P(x1y1) dan Q(x2y2) merupakan titik-titik di R2, maka

PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
x_{2}\\ y_{2}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x_{1}\\ y_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}
\end{bmatrix}
\end{align}\)


Jika P(xyz1) dan Q(xyz2) merupakan titik-titik di R3, maka

PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
x_{2}\\ y_{2}
\\ z_{2}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x_{1}\\ y_{1}
\\ z_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}
\\ z_{2}-z_{1}
\end{bmatrix}
\end{align}\)

dimana PQ merupakan suatu vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q.


Contoh 4
Diketahui A(2, 3) , B(1, 4) dan C(5, 0) merupakan titik-titik di R2. Tentukan AB dan CA.

Jawab :
AB \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
1\\ 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1\\ 1
\end{bmatrix}
\end{align}\)

CA \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
5\\ 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-3\\ 3
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, AB = [-1, 1]   dan   CA = [-3, 3]



Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian suatu vektor dengan skalar k akan menghasilkan vektor baru yang panjangnya |k| kali dari panjang vektor semula. Skalar disini tidak lain merupakan bilangan real.

Jika k > 0 maka vektor yang dihasilkan akan searah dengan vektor semula, sebaliknya jika k < 0 maka vektor yang dihasilkan akan berlawanan arah dengan vektor semula.


Jika a = [a1 , a2] merupakan vektor di R2 dan k merupakan skalar, maka

ka \(\begin{align}=\mathrm{k}\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{k}a_{1}\\ \mathrm{k}a_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)


Jika b = [b1 , b2 , b3] merupakan vektor di R3 dan k merupakan skalar, maka

kb \(\begin{align}=\mathrm{k}\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{k}b_{1}\\ \mathrm{k}b_{2}\\ \mathrm{k}b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)


Contoh 4
Diketahui a = [4, -6] dan b = [1, 4, 5].
Tentukan \(\frac{1}{2}\)a dan 3b

Jawab :
\(\frac{1}{2}\)a \(\begin{align}
=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
4\\ -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\\ -3
\end{bmatrix}
\end{align}\)

3b \(\begin{align}
=3\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 12
\\ 15
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, \(\frac{1}{2}\)a = [2, -3] dan 3b = [3, 12, 15]


Ketika k = -1, vektor yang dihasilkan akan sama panjang dan berlawanan arah dengan vektor semula.

Dua vektor yang sama panjang namun berlawanan arah disebut saling invers. Jadi, p dan -p merupakan dua vektor yang saling invers.

Contoh lain, AB dan -AB juga merupakan dua vektor yang saling invers.


Jika kita perhatikan, -AB tidak lain merupakan BA. Dapat kita tulis,

 -AB = BA   atau   AB = -BA

Jumlah dari dua vektor yang saling invers merupakan vektor nol. Dalam bahasa matematika, dua vektor a dan b dikatakan saling invers jika dan hanya jika

a + b = 0



Vektor Satuan

Vektor satuan merupakan suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari u ditulis \(\mathbf{\hat{u}}\) merupakan suatu vektor yang panjangnya satu satuan dan searah dengan u. Vektor satuan dari u dirumuskan $$\mathbf{\hat{u}}=\frac{1}{|\mathbf{u}|}\,\mathbf{u}$$
dimana
|u| = panjang u
\(\mathbf{\hat{u}}\) = vektor satuan dari u


Contoh 5
Vektor satuan dari p = [3 , 4] merupakan ...

Jawab :
p = [3, 4]    ⟶    |p| = √(32 + 42) = 5

Vektor satuan dari p merupakan
\(\begin{align}
\mathbf{\hat{p}}=\frac{1}{|\mathbf{p}|}\,\mathbf{p}=\frac{1}{5}\,[3,4]=\left [ \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right ]
\end{align}\)


Apabila vektor satuan dari u, yaitu \(\mathbf{\hat{u}}\) kita kalikan dengan panjang v, yaitu |v|, maka akan diperoleh sebuah vektor yang panjangnya |v| dan searah dengan u. Vektor yang diperoleh ini tidak lain merupakan v. Faktanya,

Jika u searah dengan v maka berlaku
\(\mathbf{v=|v|\,\hat{u}}\)   atau   \(\mathbf{u=|u|\,\hat{v}}\)

Jika u berlawanan arah dengan v maka berlaku
\(\mathbf{v=-|v|\,\hat{u}}\)   atau   \(\mathbf{u=-|u|\,\hat{v}}\)


Contoh 6
Tentukan sebuah vektor yang panjangnya 10 dan berlawanan arah dengan u = [3, 4].

Jawab :
Misalkan vektor yang dimaksud merupakan v, dengan |v| = 10

Karena u dan v berlawanan arah, maka berlaku
\(\begin{align}
\mathbf{v}&=-|\mathbf{v}|\;\mathbf{\hat{u}}\\
&=-10\,\frac{1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\,[3,4]\\
&=-2\,[3,4]\\
&=[-6,-8]
\end{align}\)



Basis Stkamur

Basis stkamur merupakan himpunan vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu koordinat pada sistem koordinat kartesius. Karena searah dengan sumbu-sumbu koordinat, vektor-vektor ini saling tegak lurus.

Basis stkamur di R2 dibentuk oleh vektor-vektor :
\(\hat{i}\) = [1, 0]  ➝ searah sumbu x positif
\(\hat{j}\) = [0, 1]  ➝ searah sumbu y positif

Basis stkamur di R3 dibentuk oleh vektor-vektor :
\(\hat{i}\) = [1, 0, 0]  ➝ searah sumbu x positif
\(\hat{j}\) = [0, 1, 0]  ➝ searah sumbu y positif
\(\hat{k}\) = [0, 0, 1]  ➝ searah sumbu z positif


Komponen-komponen vektor pada suatu ruang dimensi tertentu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari basis stkamur di ruang dimensi tersebut.

Misalkan u = [u1 , u2]  merupakan vektor di R2
\(\begin{align}
\mathbf{u}=\begin{bmatrix}
u_{1}\\ u_{2}
\end{bmatrix}&={\color{white} 1}\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ u_{2}
\end{bmatrix}\\
&=u_{1}\begin{bmatrix}
1\\ 0
\end{bmatrix}+u_{2}\begin{bmatrix}
0\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=u_{1}\,\hat{i}+u_{2}\,\hat{j}
\end{align}\)


Misalkan v = [v1 , v2 , v3] merupakan vektor di R3
\(\begin{align}
\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
v_{1}\\ v_{2}
\\ v_{3}
\end{bmatrix}&={\color{white} 1}\begin{bmatrix}
v_{1}\\ 0
\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ v_{2}
\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ v_{3}
\end{bmatrix}\\
&=v_{1}\begin{bmatrix}
1\\ 0
\\ 0
\end{bmatrix}+v_{2}\begin{bmatrix}
0\\ 1
\\ 0
\end{bmatrix}+v_{3}\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=v_{1}\,\hat{i}+v_{2}\,\hat{j}+v_{3}\,\hat{k}
\end{align}\)


Contoh 7
Nyatakan u = 2i - 6j + 3k dalam vektor baris dan v = [1, 0, -4] dalam vektor basis!

Jawab :
u =  2i - 6j + 3k  =  [2, -6, 3]
v =  [1, 0, -4]  =  i - 4k



Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki panjang dan arah yang sama.


Dua vektor yang sama tidak harus berada pada posisi yang sama. Selama keduanya memiliki panjang dan arah yang sama, kita tulis PS = QR.

Dua vektor yang sama dapat diidentifikasi dari komponen-komponen yang seletak dari kedua vektor tersebut.

Misalkan a = [a1a2] dan b = [b1b2].

a = b   ⇔   a1b1 dan a2 = b2



Vektor-Vektor Kolinear

Dua vektor atau lebih dikatakan segaris atau kolinear (collinear) jika vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan berhimpit pada satu garis.

Dengan demikian, vektor-vektor yang sejajar juga dapat dikatakan kolinear, karena vektor-vektor yang sejajar sudah pasti dapat ditempatkan berhimpit pada satu garis.

Bangun berikut dibentuk oleh sebuah jajar genjang dan trapesium sama kaki. Coba tentukan semua vektor yang kolinear dengan AF dan ED.


Vektor-vektor yang kolinear dengan AF, yaitu
FA, EF, FE, AE, EA, BC, CB

Vektor-vektor yang kolinear dengan ED, yaitu
DE, CF, FC, AB, BA

Dalam bahasa matematika, dua vektor a dan b dikatakan kolinear jika dan hanya jika terdapat bilangan real k, dengan k ≠ 0, sedemikian sehingga berlaku
a = kb


Contoh 8
Jika u = [6, 9]  dan  v = [2, p] merupakan dua vektor yang kolinear, maka p = ...

Jawab :
Karena u dan v kolinear, maka akan terdapat bilangan k sehingga berlaku
\(\begin{align}
\mathbf{u}&=k\mathbf{v}\\
\begin{bmatrix}
6\\ 9
\end{bmatrix}&=k\begin{bmatrix}
2\\ p
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
6\\ 9
\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}
2k\\ kp
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan :
6 = 2k   ⇔   k = 3
9 = kp   ⇔   9 = 3p   ⇔   p = 3



Aljabar Vektor

Vektor dapat diekspresikan dalam bentuk-bentuk aljabar, seperti (2u + 3u), 3(u - 2v) dan lain-lain.

Vektor-vektor aljabar ini dapat disederhanakan layaknya menyederhanakan persamaan linier biasa. Sebagai contoh,

2u + 3u = 5u

3(u - 2v) = 3u - 6v

Kita bisa memisalkan u = [u1 , u2] dan v = [v1 , v2] lalu membandingkan hasil ruas kiri dan ruas kanan untuk meyakinkan kita bahwa penyederhanaan seperti diatas merupakan valid.


Dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar vektor seperti diatas, boleh-boleh saja kita memkamung u dan v sebagai variabel.

Namun, yang perlu kita ingat bahwa u dan v bukan merepresentasikan bilangan layaknya variabel, melainkan sesuatu yang memiliki nilai dan arah. Jadi, tidak semua operasi-operasi aljabar dapat diterapkan kepadanya.


Contoh 9
Jika p = 3a + 2b dan q = a - 4b, nyatakan vektor (2p - q) dalam vektor a dan b

Jawab :
\(\begin{align}
2\mathbf{p}-\mathbf{q}&=2(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})-(\mathbf{a}-4\mathbf{b})\\
&=6\mathbf{a}+4\mathbf{b}-\mathbf{a}+4\mathbf{b}\\
&=5\mathbf{a}+8\mathbf{b}
\end{align}\)

Jadi, 2p - q = 5a + 8b



Soal Latihan Vektor

Latihan 1
Diketahui trapesium sama kaki ABCD, seperti pada gambar.


Sederhanakan ekspresi-ekspresi vektor berikut!
(a)   BC + CB
(b)   AB + DA
(c)   AC - DC
(d)   AD + DB + BC
(e)   AC + BD - BC

Jawab :
\(\begin{align}
(\mathrm{a})\;\;\mathbf{BC+CB=0}
\end{align}\)


\(\begin{align}
(\mathrm{b})\;\;\mathbf{AB+DA}&=\mathbf{DA+AB}\\
&=\mathbf{DB}
\end{align}\)



\(\begin{align}
(\mathrm{c})\;\;\mathbf{AC-DC}&=\mathbf{AC+(-DC)}\\
&=\mathbf{AC+CD}\\
&=\mathbf{AD}
\end{align}\)



\(\begin{align}
(\mathrm{d})\;\;\mathbf{AD+DB+BC}&=\mathbf{(AD+DB)+BC}\\
&=\mathbf{AB+BC}\\
&=\mathbf{AC}
\end{align}\)



\(\begin{align}
(\mathrm{e})\;\;\mathbf{AC+BD-BC}&=\mathbf{AC+(-BC)+BD}\\
&=\mathbf{AC+CB+BD}\\
&=\mathbf{AB+BD}\\
&=\mathbf{AD}
\end{align}\)




Latihan 2
Bentuk persamaan vektor yang sesuai dengan diagram berikut!


Jawab :
(a)   u + v = w
(b)   p + q + r = 0



Latihan 3
Diketahui jajar genjang PQRS dengan T merupakan titik potong kedua diagonalnya, seperti pada gambar. Jika PS = a dan PQ = b, nyatakan PT dan TQ dalam a dan b.


Jawab :
PT = \(\frac{1}{2}\)PR
PT = \(\frac{1}{2}\)(PS + PQ)
PT = \(\frac{1}{2}\)(a + b)

TQ = \(\frac{1}{2}\)SQ
TQ = \(\frac{1}{2}\)(PQ - PS)
TQ = \(\frac{1}{2}\)(b - a)

Jadi, PT = \(\frac{1}{2}\)(a + b)  dan  TQ = \(\frac{1}{2}\)(b - a)



Latihan 4
Diketahui a = 2i - j + 3kb = i + 4j dan c = 2j + k merupakan vektor-vektor di R3. Jika v = 2a - 3b + c, tentukan v

Jawab :
\(\begin{align}
\mathbf{v}&=2\begin{bmatrix}
2\\ -1
\\ 3
\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 2
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
4\\ -2
\\ 6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
3\\ 12
\\ 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 2
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
1\\ -12
\\ 7
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, v = i - 12j + 7k



Latihan 5
Jika P(-5, 3, 2) dan Q(1, 3, -6) merupakan titik-titik di R3, maka panjang PQ merupakan ...

Jawab :
PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
1\\ 3
\\ -6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-5\\ 3
\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
6\\ 0
\\ -8
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Panjang PQ merupakan
|PQ| \(\begin{align}
=\sqrt{6^{2}+0^{2}+(-8)^{2}}=10
\end{align}\)



Latihan 6
Jika A(-2, p, -4), B(4, 2, 4) dan C(7, 1, q) merupakan titik-titik yang segaris, maka nilai p + q merupakan ...

Jawab :
Karena titik A, B dan C segaris, maka AB dan BC merupakan dua vektor yang kolinear. Sehingga

\(\begin{align}

\mathbf{AB}&=k\cdot \mathbf{BC}\\
\begin{bmatrix}
4\\ 2
\\ 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-2\\ p
\\ -4
\end{bmatrix}
&=k\left (\begin{bmatrix}
7\\ 1
\\ q
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4\\ 2
\\ 4
\end{bmatrix}  \right )\\
\begin{bmatrix}
6\\ 2-p
\\ 8
\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}
3k\\ -k
\\ k(q-4)
\end{bmatrix}
 \end{align}\)

Dari persamaan vektor diatas, diperoleh
6 = 3k   ⇔   k = 2
2 - p = -k   ⇔   2 - p = -2   ⇔   p = 4
8 = k(q - 4)   ⇔   8 = 2(q - 4)   ⇔   q = 8

Jadi, p + q = 4 + 8 = 12



Latihan 7
Perhatikan diagram berikut.


Titik D membagi BC dengan perbandingan 1 : 2. Jika AB = [4, 4] dan AC = [7, 1], maka |AD| = ...

Jawab :
Berdasarkan aturan segitiga, maka
BC = AC - AB = [3, -3]

Karena BD : DC = 1 : 2, akibatnya
BD = \(\frac{1}{3}\)BC = [1, -1]

Berdasarkan aturan segitiga, maka
AD = AB + BD = [5, 3]

Jadi, panjang AD merupakan
|AD| = √(52 + 32) = √34



Latihan 8
Diketahui a = [2, -4], b = [p, -2], dan c = [q, 2]. Jika a sejajar dengan b, dan b invers dari c, maka nilai p - q = ...

Jawab :
Karena a sejajar dengan b, maka terdapat skalar k sedemikian sehingga a = kb
\(\begin{align}
\begin{bmatrix}
2\\ -4
\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}
p\\ -2
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan
-4 = -2k   ⟶   k = 2
2 = kp   ⟶   2 = (2)p   ⟶   p = 1

Karena b invers dari c maka b + c = 0
\(\begin{align}
\begin{bmatrix}
p\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
q\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\ 0
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan
p + q = 0   ⇔   1 + q = 0   ⇔  q = -1

Jadi, p - q = 1 - (-1) = 2



Latihan 9
Dua buah vektor u dan v, dengan u = [p, q, r] dan v = [1, 4, -1]. Jika |u| = 3 dan u searah dengan v, nilai p + q - 3r = ...

Jawab :
Vektor satuan dari v merupakan
\(\begin{align}
\mathbf{\hat{v}}&=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}}[1,4,-1]\\
&=\frac{1}{3\sqrt{2}}[1,4,-1]\\
&=\left [ \frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{4}{3\sqrt{2}},-\frac{1}{3\sqrt{2}} \right ]
\end{align}\)

Karena u searah dengan v maka
\(\begin{align}
\mathbf{u}&=|\mathbf{u}|\,\mathbf{\hat{v}}\\
&=3\,\left [ \frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{4}{3\sqrt{2}},-\frac{1}{3\sqrt{2}} \right ]\\
&=\left [ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{4}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right ]
\end{align}\)

Diperoleh p = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ,  q = \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) ,  r = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)

\(\begin{align}
\mathrm{p+q+3r}&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{2}}+3\left ( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right )\\
&=\frac{2}{\sqrt{2}}\\
&=\sqrt{2}
\end{align}\)



Suatu ketika Vektor berkata kepada Skalar, "Percuma menjadi besar jika tidak punya arah". Skalar hanya terdiam lalu berlari menjauh berlawanan arah menyerupai vektor. TAMAT.


0 Response to "Vektor dalam Kajian Matematika"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel