Advertising 468 x 60

Deret Geometri Tak Hingga


Bentuk umum dari deret geometri tak hingga merupakan
a + ar + ar2 + ar3 + ...

dimana a merupakan suku pertama dan r merupakan rasio.

Tkamu titik tiga (...) diatas menkamukan bahwa penjumlahan dilanjutkan terus menerus dengan mengikuti pola deret tersebut.

Ada dua istilah yang sering digunakan menyangkut barisan/deret tak hingga, yaitu konvergen dan divergen.

Konvergen artinya memusat atau menuju ke suatu titik tertentu. Sebaliknya, divergen artinya tidak memusat, bisa jadi menyebar, berisolasi, atau mungkin konstan, yang pasti tidak menuju ke suatu titik tertentu.

Pada deret geometri, kekonvergenan dapat dilihat dari rasio deret tersebut.

Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan mempunyai jumlah jika dan hanya jika |r| < 1

Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika dan hanya jika |r| ≥ 1. Deret divergen tidak mempunyai jumlah. 

Catatan :
|r| < 1   ≡   -1 < r < 1
|r| ≥ 1   ≡   r ≤ -1  atau  r ≥ 1


Contoh 1
Periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen dengan mengamati rasionya!
(a)   3 + 6 + 12 + 24 + ...
(b)   2 + 2 + 2 + 2 + ...
(c)   1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
(d)   3 - 1 + 1/3 - 1/9  + ...
(e)   -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
(f)   2 - 6 + 18 - 54 + ...

Jawab :
(a)   3 + 6 + 12 + 24 + ...   (divergen)
        karena |r| = |2| ≥ 1

(b)   2 + 2 + 2 + 2 + ...     (divergen)
        karena  |r| = |1| ≥ 1

(c)   1/2 + 1/4 + + 1/8 + 1/16 + ...   (konvergen)
        karena |r| = |1/2| < 1

(d)   3 - 1 + 1/3 - 1/9  + ...   (konvergen)
        karena |r| = |-1/3| < 1

(e)   -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...     (divergen)
        karena |r| = |-1| ≥ 1

(f)   2 - 6 + 18 - 54 + ...      (divergen)
        karena |r| = |-3| ≥ 1



Coba perhatikan kembali rumus jumlah parsial n suku pertama barisan geometri berikut :
\(\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-\;r^{n})}{1-\;r}}\),   r ≠ 1.

Ketika n semakin besar, tentunya semakin banyak suku-suku yang dijumlahkan. Bagaimana jika n menuju tak hingga? Apakah Sn juga akan menuju ke suatu bilangan tertentu ?

Sekamuinya Sn menuju ke suatu bilangan S ketika n menuju tak hingga, cukup beralasan jika kita mengatakan bahwa S merupakan jumlah dari deret tak hingga tersebut.

Jumlah dari suatu deret tak hingga merupakan suatu nilai yang dituju Sn (jumlah parsial deret tersebut), ketika n bertambah besar menuju tak hingga. 

Dengan kata lain, jumlah dari suatu deret tak hingga merupakan limit dari jumlah parsial deret tersebut. Dalam notasi limit kita tulis $$\mathrm{S=\lim_{n \to \infty}\,S_{n}}$$
Dengan demikian, jumlah dari deret geometri tak hingga dapat dinyatakan sebagai $$\mathrm{S=\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}$$

Jika  |r| < 1 maka limit dari rn untuk n menuju tak hingga akan sama dengan nol. Akibatnya,  $$\mathrm{\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a}{1-r}} $$

Misalkan S = a + ar + ar2 + ...
Jika |r| < 1, maka $$\mathrm{S=\frac{a}{1-r}} $$

Contoh 2
Hitung jumlah deret tak hingga berikut!
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Jawab :
a = 1  dan  r = 1/2

Jumlah deret tak hingga tersebut merupakan
\(\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-1/2}=2}\end{align} \)


Setelah mempelajari materi tentang deret aritmatika dan deret geometri, mungkin ada dari kita yang bertanya, mengapa deret tak hingga hanya dibahas pada deret geometri, sedangkan deret aritmatika tidak.

Jawabannya sederhana, deret aritmatika sudah pasti divergen, karena suku-sukunya tidak pernah menuju ke suatu bilangan tertentu, melainkan terus bertambah besar (b > 0) atau bertambah kecil (b < 0). Sehingga, jumlah tak hingga suku-sukunya tidak ada (±∞). Tentu saja hal ini tidak menarik untuk dibahas.


Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga


Latihan 1
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan dengan Un = 2-n. Tentukan jumlah tak hingga suku-suku dari barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui : Un = 3-n.
U1 = 3-1.= 1/3
U2 = 3-2 = 1/9

Diperoleh
a = 1/3
r = \(\frac{1/9}{1/3}\) = 1/3

Jumlah tak hingga suku-sukunya merupakan
\(\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}\;\; \Rightarrow \;\; S=\frac{1/3}{1-1/3}=1/2}\end{align} \)


Latihan 2
Jika jumlah dari deret geometri tak hingga sama dengan tiga kali suku pertamanya, maka rasio deret tersebut merupakan ...

Jawab :
Diketahui : S = 3a
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\mathrm{3a}&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{\frac{a}{3a}} \\
\mathrm{1-r}&=\frac{1}{3} \\
\mathrm{r}&=\frac{2}{3}
\end{align}\)

Jadi, rasio deret tersebut merupakan 2/3.


Latihan 3
Misalkan suku pertama deret geometri tak hingga merupakan a. Tentukan batas-batas nilai a agar deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.

Jawab :
Dikethaui S = 2
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;2&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2(1-r)} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2-2r} \\
\mathrm{2r}&=\mathrm{2-a} \\
\mathrm{r}&= \frac{\mathrm{2-a}}{2}
\end{align}\)

Agar deret geometri yang dimaksud konvergen, haruslah -1 < r < 1
\(\begin{align}
-1&<\mathrm{\frac{2-a}{2}<1\;\;\;(kali\; 2)} \\
-2&<\mathrm{2-a<2\;\;\;(kurang\;2)} \\
-4&<\mathrm{-a<0\;\;\;\;\;\;\,(kali\;(-1))} \\
4&>\mathrm{a}>0 \\
0&<\mathrm{a}<4
\end{align}\)

Jadi, deret tersebut akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4


Latihan 4
Tentukan x agar jumlah tak hingga dari deret geometri berikut sama dengan 1
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{3}{(x+3)}+\frac{6}{(x+3)^{2}}+\frac{12}{(x+3)^{3}}+\;...}
\end{align}\)

Jawab :
Suku pertama deret tersebut merupakan
a = \(\mathrm{\frac{3}{(x+3)}}\)

Rasio dari deret tersebut merupakan
r = \(\mathrm{\frac{U_{2}}{U_{1}}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{x+3}}\)

Diketahui S = 1
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;1&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{ a} \\
1&= \mathrm{a+r} \\
1&= \mathrm{\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x+3}} \\
1&= \mathrm{\frac{5}{x+3}} \\
\mathrm{x+3}&= 5 \\
\mathrm{x}&=2
\end{align}\)


Latihan 5
Tentukan nilai dari pq, jika diketahui
p = log 2 + log22 + log32 + log42 + ...
q = log 5 + log25 + log35 + log45 + ...

Jawab :
p = log 2 + log22 + log32 + log42 + ...

Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 2  ,  r = log 2  dan  S = p

\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{p}&=\mathrm{\frac{log\,2}{1-log\,2}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,10-log\,2}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,5}} \\
&= \mathrm{\,^{5}log\,2}
\end{align}\)

q = log 5 + log25 + log35 + log45 + ...

Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 5  ,  r = log 5  dan  S = q

\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{q}&=\mathrm{\frac{log\,5}{1-log\,5}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,10-log\,5}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,2}} \\
&= \mathrm{\,^{2}log\,5}
\end{align}\)

Jadi, pq = 5log 2 . 2log 5 = 5log 5 = 1


Latihan 6
Tunjukkan bahwa perbandingan dari jumlah suku-suku genap (Sgenap) dengan jumlah suku-suku ganjil (Sganjil) dari suatu deret geometri tak hingga sama dengan rasio deret tak hingga tersebut
\(\begin{align}
\left (\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r}  \right )
\end{align}\)

Jawab :
Jumlah suku suku genapnya :
Sgenap = U2 + U4 + U6 + ...
Sgenap = ar + ar3 + ar5 + ...           

Perhatikan bahwa jumlah suku-suku genapnya membentuk deret geometri dengan suku pertama ar dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku genapnya merupakan  $$\begin{align}
\mathrm{S_{genap}=\frac{ar}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Jumlah suku-suku ganjilnya :
Sganjil = U1 + U3 + U5 + ...
Sganjil = a + ar2 + ar4 + ...            

Perhatikan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya membentuk deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku ganjilnya merupakan  $$\begin{align}
\mathrm{S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Perbandingan Sgenap dengan Sganjil :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=\frac{ar/(1-r^{2})}{a/(1-r^{2})}=r}
\end{align}\)

Jadi,  \(\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r}
\end{align}\)


Latihan 7
Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan jumlah 6. Apabila jumlah suku-suku genapnya sama dengan 2, tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut!

Jawab :
Diketahui :  S = 6  dan  Sgenap = 2

S = Sgenap + Sganjil , akibatnya
Sganjil = S - Sgenap = 6 - 2 = 4

\(\begin{align}
\mathrm{r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\end{align}\)

\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow 6&=\frac{\mathrm{a}}{1-1/2} \\
\mathrm{a}&=6(1-1/2)=3
\end{align}\)

Jadi, suku pertama dan rasio deret tersebut merupakan
a = 3  dan  r = 1/2


Latihan 8
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dari permukaan tanah. Apabila bola tersebut selalu memantul 2/3 kali dari ketinggian sebelumnya, tentukan panjang lintasan bola mulai dijatuhkan sampai berhenti..

Jawab :
Panjang lintasan (PL) bola yang dijatuhkan dari ketinggian a, dengan rasio pantulan r, dapat dihitung dengan menggunakan rumus
PL = 2S - a

Dari soal diketahui a = 10  dan  r = 2/3

\(\begin{align}
\mathrm{PL}&=\mathrm{2S-a} \\
&=\mathrm{2\left ( \frac{a}{1-r} \right )-a} \\
&=2\left ( \frac{10}{1-\frac{2}{3}} \right )-10 \\
&=2(30)-10 \\
&=50
\end{align}\)

Jadi, panjang lintasan bola saat dijatuhkan hingga bola berhenti merupakan 50 m.


Latihan 9
Dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, tunjukkan bahwa 0,999... = 1

Jawab :
Misalkan S = 0,999...
Dapat kita tulis, S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Penjumlahan diatas membentuk deret geometri dengan a = 0,9  dan  r = 0,1

sehingga jumlah tak hingganya merupakan
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=1}
\end{align}\)

Kita simpulkan, S = 0,999... = 1


Latihan 10
Dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, nyatakan bentuk desimal berulang 1,272727... ke dalam bentuk bilangan rasional (pecahan).

Jawab :
Misalkan  S = 1,272727...
Dapat kita tulis,
S =1 + (0,27 + 0,0027 + 0,000027 + ...)

Penjumlahan diatas (dalam tkamu kurung) membentuk deret geometri dengan
a = 0,27  dan  r = 0,01

sehingga jumlah tak hingganya merupakan
\(\begin{align}
\mathrm{S=1+\left (\frac{0,27}{1-0,01} \right )=1+\frac{0,27}{0,99}=1+\frac{3}{11}=\frac{14}{11}}
\end{align}\)


Jadi,  1,272727... = \(\frac{14}{11}\)


0 Response to "Deret Geometri Tak Hingga"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel