Advertising 468 x 60

Deret Aritmatika


Deret aritmatika merupakan jumlah suku-suku berurutan dari barisan aritmatika. Deret aritmatika disebut juga deret hitung dan dilambangkan dengan Sn, dimana n merupakan bilangan asli yang menyatakan banyaknya suku yang akan dijumlahkan.

Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un merupakan suku-suku suatu barisan aritmatika. Apabila suku-suku tersebut kita jumlahkan, maka akan terbentuk deret aritmatika sebagai berikut :

U1  +  U2  +  U3  +  ...  +  Un 

Jumlah satu suku pertama dilambangkan S1, jumlah dua suku pertama dilambangkan S2, dan begitu seterusnya jumlah n suku pertama dilambangkan Sn. Dapat kita tulis :

S1  =  U1
S2  =  U1  +  U2
S3  =  U1  +  U2  +  U3
...
Sn  =  U1  +  U2  +  U3  +  ...  +  Un


 Contoh 1 
Diketahui barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, 9, 11. Tentukan :
a.  Jumlah 2 suku pertama
b.  Jumlah 5 suku pertama 

Jawab :
a.  Jumlah 2 suku pertamanya merupakan 
     S2 = 1 + 3 = 4

b.  Jumlah 5 suku pertamanya merupakan
     S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9  = 25


Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika

Seperti yang kita tahu, setiap suku pada barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Oleh karenanya, deret aritmatika dapat kita nyatakan dalam persamaan berikut
Sn  =  U1 + (U1 + b) + (U1 + 2b) + ... + Un

Jika suku-suku pada ruas kanan diurutkan dari suku ke-n sampai suku ke-1, kita peroleh
Sn  =  Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + U1

Apabila kedua persamaan diatas kita jumlahkan, maka akan diperoleh
Sn   =  U1 + (U1 + b) + (U1 + 2b) + ... + Un
Sn   =  Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + U1     +
2Sn =  (U1+Un) + (U1+Un) + (U1+Un) + ... + (U1+Un)

Perhatikan bahwa ruas kanan merupakan penjumlahan (U1 + Un) sebanyak n, dapat kita tulis :
2Sn =  n(U1 + Un)     ↔    Sn =  \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(U1 + Un)

Karena U1 = a dan Un = a + (n - 1)b, diperoleh
Sn =  \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2a + (n - 1)b)

Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika, yaitu :
\(\mathrm{S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}\)
atau
\(\mathrm{S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})}\)


 Contoh 2 
Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ...

Jawab :
Diketahui : a = 3  dan  b = 2

Jumlah 20 suku pertamanya merupakan
S20  = \(\mathrm{\frac{20}{2}}\)(2a + (20 - 1)b)
S20  = 10 (2a + 19b)
S20  = 10 (2(3) + 19(2))
S20  = 10 (6 + 38)
S20  = 440


 Contoh 3 
Hitung deret aritmatika berikut!
-2 + 1 + 4 + 7 + ... + 28

Jawab :
Diketahui : a = -2,  b = 3  dan  Un = 28

Un = a + (n - 1)b
28 = -2 + (n - 1)3
28 = -2 + 3n - 3
33 = 3n
n = 11

Jadi, jumlah dari deret aritmatika diatas merupakan
S11  = \(\mathrm{\frac{11}{2}}\)(a + U11)
S11  = \(\mathrm{\frac{11}{2}}\)(-2 + 28)
S11  = \(\mathrm{\frac{11}{2}}\)(26)
S11  = 143


Sifat-Sifat Deret Aritmatika

Berikut ini beberapa sifat yang berkaitan dengan deret aritmatika!

Jika jumlah n suku pertama barisan aritmatika dinyatakan dalam bentuk Sn = pn2 + qn, maka suku pertama barisan tersebut merupakan p + q dan bedanya 2p.

 Contoh 4 
Diketahui jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika merupakan Sn = 4n2 - 3n. Tentukan suku pertama dan beda barisan aritmatika yang dimaksud!

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas :
Sn = pn2 + qn   →   a = p + q   dan   b = 2p

Jadi, untuk Sn = 4n2 - 3n, maka
a = 4 + (-3) = 1
b = 2(4) = 8

Jadi, suku pertamanya 1 dan beda 8.



Misalkan suku ke-n suatu barisan aritmatika merupakan Un dan jumlah n suku pertamanya merupakan Sn. Maka berlaku \(\mathrm{U_{n}=S_{n}-S_{n-1}}\)

 Contoh 5 
Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan Sn = 2n2 - 3n. Suku ke-5 barisan aritmatika tersebut merupakan...

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas, maka U5 = S5 - S4

S5 = 2(5)2 - 3(5) = 35
S4 = 2(4)2 - 3(4) = 20

Jadi, U5 = 35 - 20 = 15


 Contoh 6 
Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan Sn = 3n2 - 2n. Tentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut!

Jawab :
Sn = 3n2 - 2n ,  akibatnya
Sn-1 = 3(n - 1)2 - 2(n - 1)
Sn-1 = 3(n2 - 2n + 1) - 2(n - 1)
Sn-1 = 3n2 - 6n + 3 - 2n + 2
Sn-1 = 3n2 - 8n + 5

Un = Sn - Sn-1
Un = (3n2 - 2n) - (3n2 - 8n + 5)
Un = 3n2 - 2n - 3n2 + 8n - 5
Un = 6n - 5

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut merupakan Un = 6n - 5



Jika rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika merupakan \(\mathrm{S_{n}=pn^{2}+qn}\), maka rumus suku ke-n barisan tersebut merupakan \(\mathrm{U_{n}=2pn+q-p}\)

Perhatikan kembali contoh 6 diatas!
 Sn = 3n2 - 2n, dengan p = 3 dan q = -2.

Berdasarkan sifat diatas, maka
 Un = 2(3)n + (-2) - 3
 Un = 6n - 5


Soal Latihan Deret Aritmatika dan Pembahasan



 Latihan 1 
Suku pertama dan suku terakhir suatu barisan aritmatika berturut-turut merupakan 5 dan 50. Jika jumlah semua suku barisan tersebut merupakan 440, tentukan banyaknya suku barisan tersebut!

Jawab :
a = 5,  Un = 50,  Sn = 440,  n = ...

Sn = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(a + Un)
440 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(5 + 50)
2 . 440 = n(55)
880 = 55n
n = 16

Jadi, banyaknya suku barisan tersebut merupakan 16.


 Latihan 2 
Jumlah suku ketiga dan suku kesepuluh dari suatu barisan aritmatika merupakan 30, sedangkan suku kesembilannya merupakan 20. Tentukan jumlah 7 suku pertamanya!

Jawab :
U3 + U10 = 30
(a + 2b) + (a + 9b) = 30
2a + 11b = 30   ....................................(1)

U9 = 20
a + 8b = 20   ........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 4 dan b = 2

Jadi, jumlah 7 suku pertamanya merupakan
S7 = \(\mathrm{\frac{7}{2}}\) (2a + (7 - 1)b)
S7 = \(\mathrm{\frac{7}{2}}\) (2(4) + 6(2))
S7 = 70


 Latihan 3 
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan jumlah 75. Jika bilangan ketiga dikurang bilangan pertama sama dengan 12, tentukan bilangan kelima!

Jawab :
Misalkan kelima bilangan tersebut merupakan
U1 , U2 , U3 , U4 , U5

U3 - U1 = 12
(a + 2b) - a = 12
2b = 12
b = 6

S5 = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4b) = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4(6)) = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 24) = 75
5a + 60 = 75
5a = 15
a = 3

U5 = a + 4b
U5 = 3 + 4(6)
U5 = 27

Jadi, bilangan kelima merupakan 27


 Latihan 4 
Suku keempat dari deret aritmatika merupakan 7, sedangkan jumlah dari 6 suku pertama sama dengan 36. Tentukan jumlah dari 10 buah suku pertama

Jawab :
U4 = 7
a + 3b = 7   ....................................................(1)

S6 = 36
\(\mathrm{\frac{6}{2}}\) (2a + 5b) = 36
2a + 5b = 12   ................................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 1  dan  b = 2

S10 = \(\mathrm{\frac{10}{2}}\) (2a + 9b)
S10 = 5 (2(1) + 9(2))
S10 = 100

Jadi, jumlah 10 suku pertamanya merupakan 100


 Latihan 5 
Diketahui deret aritmatika dengan suku pertamanya 5. Jika U11 - U6 = 10, hitunglah S5

Jawab :
a = 5 

U11 - U6 = 10
(a + 10b) - (a + 5b) = 10
5b = 10
b = 2

S5 = \(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4b)
S5 = \(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2(5) + 4(2))
S5 = 45


 Latihan 6 
Tentukan banyaknya bilangan pada deret aritmatika berikut agar jumlahnya = 63
15 + 13 + 11 + 9 + ...

Jawab :
Diketahui : a = 15  dan  b = -2

Sn = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (2a + (n - 1)b) = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (2(15) + (n - 1)(-2)) = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (32 - 2n) = 63
16n - n2 = 63
n2 - 16n + 63 = 0
(n - 7)(n - 9) = 0
n = 7  atau n = 9

Jadi, banyaknya bilangan agar jumlah deret tersebut sama dengan 63 merupakan 7 atau 9 bilangan.


 Latihan 7 
Tentukan jumlah semua bilangan asli diantara 1 sampai 100, dimana bilangan tersebut
a. Habis dibagi 2
b. Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3
c. Habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3

Jawab :
(a) Habis dibagi 2, yaitu :
     2, 4, 6, 8, 10, ... , 98

   Banyaknya bilangan :
   Un = a + (n - 1)b
   98 = 2 + (n - 1)2
   98 = 2n
   n = 49

   Jumlah ke-49 bilangan tersebut :
   S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (2a + 48b)
   S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (2(2) + 48(2))
   S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (100)
   S49 = 2450

(b) Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3, yaitu :
      6, 12, 18, 24, ... , 96

   Banyaknya bilangan :
   Un = a + (n - 1)b
   96 = 6 + (n - 1)6
   96 = 6n
   n = 16

   Jumlah ke-16 bilangan tersebut :
   S16 = \(\mathrm{\frac{16}{2}}\) (2a + 15b)
   S16 = 8 (2(6) + 15(6))
   S16 = 8 (102)
   S16 = 816

(c) Jumlah semua bilangan asli diantara 1 - 100 yang habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3 yaitu : 2450 - 816 = 1634


 Latihan 8 
Diantara bilangan 6 dan 78 disisipkan 7 bilangan sedemikian sehingga terbentuk sebuah deret aritmatika. Tentukan beda dan jumlah dari deret aritmatika yang terbentuk

Jawab :
Beda yang terbentuk :
b = \(\mathrm{\frac{78-6}{7+1}}\) = 9

Banyaknya bilangan setelah disisipkan :
n = 7 + 2 = 9

Jumlah ke-9 bilangan tersebut merupakan
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (2a + 8b)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (2(6) + 8(9))
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (84)
S9 = 378

atau

S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (a + U9)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (6 + 78)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (84)
S9 = 378


 Latihan 9 
Sebuah tali dipotong menjadi 12 bagian yang panjang masing-masing membentuk deret aritmatika. Apabila potongan terpendek 4 cm dan  potongan terpanjang 59 cm, hitunglah panjang tali semula!

Jawab :
Diketahui :
n = 12
a = 4
U12 = 59

Panjang tali semula merupakan
S12 = \(\mathrm{\frac{12}{2}}\) (a + U12)
S12 = 6 (4 + 59)
S12 = 315

Jadi, panjang tali semula merupakan 315 cm.


 Latihan 10 
Diketahui 1 + 5 + 9 + ... + x = 276. Jika ruas kiri persamaan tersebut merepresentasikan deret aritmatika, maka nilai x merupakan ...

Jawab :
Diketahui : a = 1,  b = 4, Un = x, Sn = 276

Sn = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2a + (n - 1)b)
276 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2(1) + (n - 1)4)
276 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(4n - 2 )
276 = n(2n - 1)
2n2 - n - 276 = 0
(2n + 23)(n - 12) = 0
n = -23/2  atau  n = 12

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika
Un = a + (n - 1)b
x = 1 + (12 - 1)4
x = 1 + 44
x = 45


 Latihan 11 
Banyak suku suatu barisan aritmatika merupakan 21. Jumlah 3 buah suku yang berada ditengah merupakan 75, sedangkan jumlah 3 suku terakhir merupakan 129. Tentukan jumlah semua suku barisan aritmatika tersebut!

Jawab :
Misalkan barisan aritmatika tersebut merupakan
U1, U2, U3, U4, ... , U21

Suku tengahnya merupakan suku ke (21 + 1)/2 = 11
Jadi, 3 suku ditengah merupakan U10, U11, U12

Jumlah 3 suku yang berada ditengah merupakan 75.
U10 + U11 + U12 = 75
(a + 9b) + (a + 10b) + (a + 11b) = 75
3a + 30b = 75
a + 10b = 25   ..........................................(1)

Jumlah 3 suku terakhir merupakan 129.
U19 + U20 + U21 = 129
(a + 18b) + (a + 19b) + (a + 20b) = 129
3a + 57b = 129
a + 19b = 43   ..........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5  dan  b = 2

Jumlah semua suku barisan tersebut merupakan
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (2a + 20b)
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (2(5) + 20(2))
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (50)
S21 = 525


 Latihan 12 
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika turun, dengan bilangan ketiga sama dengan 9. Jika jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, maka selisih bilangan kedua dengan bilangan keempat merupakan...

Jawab :
Misalkan kelima bilangan tersebut merupakan
U1, U2, U3, U4, U5

Berdasarkan rumus suku tengah :
2U3 = U1 + U5
2(9) = U1 + U5
U1 + U5 = 18   ..................................(1)

Jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, dapat ditulis :
S5 = U1 . U5
\(\frac{5}{2}\)(U1 + U5) = U1 . U5
\(\frac{5}{2}\)(18) = U1 . U5
U1 . U5 = 45   ....................................(2)

Perhatikan persamaan (1) dan (2). Dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 18 dan jika dikalikan hasilnya 45 merupakan 3 dan 15. Karena barisan aritmatika tersebut turun, maka U1 > U5.
Jadi,  U1 = 15  dan  U5 = 3

Hasil sementara bilangan-bilangan tersebut :
15, U2, 9, U4, 3

Berdasarkan rumus suku tengah, maka
U2 = (15 + 9)/2  =  12
U4 = (9 + 3)/2  =  6

Jadi, selisih suku kedua dengan suku keempat :
U2 - U4 = 12 - 6 = 6


0 Response to "Deret Aritmatika"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel