Advertising 468 x 60

Barisan Aritmatika


Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un merupakan suku-suku suatu barisan bilangan, dengan n bilangan asli. Barisan ini kita sebut barisan aritmatika, jika selisih setiap dua suku yang berurutan/berdekatan selalu konstan atau tetap. Perhatikan barisan bilangan berikut!

2,  5,  8,  11,  14

Selisih dua suku berurutannya merupakan
5 - 2  =  8 - 5  =  11 - 8  =  14 - 11  =  3

Karena selisihnya selalu tetap atau sama, kita simpulkan bahwa barisan diatas merupakan barisan aritmatika.

Selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika sering disebut dengan "beda" dan dilambangkan dengan b. Secara umum, beda barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut :
b = Un - Un-1

Sedangkan suku pertama biasa dilambangkan dengan a. Dapat kita tulis :
a = U1


Barisan Aritmatika Naik dan Barisan Aritmatika Turun

Barisan aritmatika dikatakan naik jika dan hanya jika bedanya bernilai positif, sebaliknya barisan aritmatika dikatakan turun jika dan hanya jika bedanya bernilai negatif.

Contoh barisan aritmatika naik :
2 , 4 , 6 , ... , 28    →   b = 2

Contoh barisan aritmatika turun :
15 , 10 , 5 , ... , -60   →   b = -5

Pada barisan aritmatika naik, suku ke-n selalu lebih besar dari suku ke-(n-1). Dapat kita tulis, Un > Un-1 untuk setiap n. Sedangkan, pada barisan aritmatika turun, suku ke-n akan selalu lebih kecil dari suku ke-(n-1). Kita tulis, Un < Un-1 untuk setiap n.


Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika

Setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Sebagai contoh, suku kedua merupakan hasil penjumlahan suku pertama dengan beda, suku ketiga merupakan hasil penjumlahan suku kedua dengan beda, dan seterusnya. Perhatikan uraian berikut!

U1  =  a
U2  =  U1 + b  =  a + b
U3  =  U2 + b  =  a + 2b
U4  =  U3 + b  =  a + 3b
...
Un  =  Un-1 + b  =  a + (n - 1)b

Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus suku ke-n barisan aritmatika, yaitu :
Un = a + (n - 1)b


 Contoh 1 
Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ... , 135. Tentukan :
a.   Suku pertama (a)
b.   Beda (b)
c.   Suku ke-25 (U25)
d.   Banyaknya suku barisan tersebut (n)

Jawab :
a.   Suku pertamanya merupakan a = 3

b.   Beda barisannya merupakan b = 5 - 3 = 2

c.   Suku ke-25 barisan tersebut merupakan
      U25  =  a + (25 - 1)b
      U25  =  a + 24b
      U25  =  3 + (24)2
      U25  =  51

d.   Banyaknya suku (n) merupakan
      Un  =  a + (n - 1)b
      135 =  3 + (n - 1)2
      135 =  3 + 2n - 2
      134 =  2n
      n = 67


 Contoh 2 
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut merupakan 9 dan 21. Tentukan :
a.   Suku pertama dan beda barisan tersebut!
b.   Suku ke-18 dari barisan tersebut!
c.   Rumus suku ke-n barisan tersebut!

Jawab :
a.   Diketahui U3 = 9 dan U6 = 21.
      U3 = a + 2b = 9
      U6 = a + 5b = 21  _
                      -3b = -12
                           b = 4

      a + 2b = 9
      a + 2(4) = 9
      a = 1

      Jadi, suku pertamanya 1 dan beda 4.

b.   Suku ke-18 barisan tersebut merupakan
      U18 = a + 17b
      U18 = 1 + 17(4)
      U18 = 69

c.   Rumus suku ke-n barisan tersebut merupakan
      Un = a + (n - 1)b
      Un = 1 + (n - 1)4
      Un = 1 + 4n - 4
      Un = 4n - 3


 Contoh 3 
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika merupakan Un = 5 - 2n.
a.   Tentukan a dan b
b.   Tuliskan 5 buah suku pertama barisan tersebut

Jawab :
a.   Diketahui Un = 5 - 2n
      U1 = 5 - 2(1) = 3
      U2 = 5 - 2(2) = 1
      a = U1 = 3
      b = U2 - U1 = 1 - 3 = -2
      Jadi, a = 3 dan b = -2

b.   Lima suku pertama barisan tersebut merupakan
      3,  1,  -1,  -3,  -5


Sifat-Sifat Barisan Aritmatika

Karena polanya yang teratur, ada banyak sifat yang dapat kita turunkan menyangkut barisan aritmatika. Beberapa diantaranya merupakan sebagai berikut!

Rumus suku ke-n barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk Un = bn + c, dengan suku pertama barisan tersebut merupakan b + c, dan bedanya merupakan koefisien dari n, yaitu b.

Perhatikan penjelasan berikut.
Dengan menjabarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika akan diperoleh hasil sebagai berikut :
Un = a + (n - 1)b
Un = a + bn - b
Un = bn + a - b

Misalkan a - b = c, persamaan diatas menjadi
Un = bn + c

Dari persamaan terakhir dapat kita lihat bahwa Un = bn + c merupakan fungsi linier dalam peubah n, dengan domain bilangan asli. Koefisien dari n merupakan beda dari barisan tersebut (gradien dari fungsi), sedangkan c konstan. Karena a - b = c maka a = b + c. Jadi, suku pertamanya merupakan b + c.


 Contoh 4 
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika merupakan Un = 5 - 2n. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui Un = 5 - 2n
Berdasarkan sifat diatas, maka
a = -2 + 5 = 3
b = -2
Jadi, suku pertamanya 3 dan beda -2.


Jika Um dan Un merupakan suku-suku suatu barisan aritmatika, maka untuk m ≠ n berlaku :
  • \(\begin{align}\mathrm{b=\frac{U_{m}-U_{n}}{m-n}}\end{align}\)
  • \(\begin{align}\mathrm{U_{m}=U_{n}+(m-n)b}\end{align}\) 

Simak uraian berikut!
Karena Um dan Un merupakan suku-suku barisan aritmatika, maka
Um = a + (m - 1)b   ...............(1)
Un = a + (n - 1)b   .................(2)

Jika kita kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2) akan diperoleh
Um - Un = (m - n)b   atau
Um = Un + (m - n)b   atau
b = (Um - Un) / (m - n)


 Contoh 5 
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut merupakan 9 dan 21. Tentukan beda dan suku ke-18 barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui U3 = 9  dan  U6 = 21

Berdasarkan sifat diatas, maka
\(\begin{align}\mathrm{b=\frac{U_{6}-U_{3}}{6-3}=\frac{21-9}{6-3}=4}\end{align}\)

U18 = U3 + (18 - 3)4
U18 = 9 + (15)4
U18 = 69

Jadi, suku ke-18 barisan tersebut merupakan 69 dengan beda 4.


Jika tiga buah bilangan x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka berlaku \(\mathrm{2y = x + z}\)

Perhatikan penjelasan berikut!
Karena x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka selisih tiap suku berurutannya akan selalu sama. Sehingga, y - x = z - y   atau   2y = x + z.


 Contoh 6 
Diketahui tiga suku pertama barisan aritmatika merupakan (x - 1), (2x + 1), dan (x2 + 5). Tentukan nilai x yang memenuhi!

Jawab :
Diketahui barisan aritmatika
(x - 1), (2x + 1), (x2 + 5)

Berdasarkan sifat diatas, maka
2(2x + 1) = (x - 1) + (x2 + 5)
4x + 2 = x2 + x + 4
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1  atau  x = 2


Bilangan asli berurutan diantara x dan y akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 dan banyaknya bilangan tersebut merupakan y - x - 1.

Misalkan x dan y bilangan asli, dengan x < y.
Bilangan asli diantara x dan y, yaitu :
x + 1 ,  x + 2 , x + 3 , ... , y - 1

dimana : a  = x + 1 , b = 1  dan  Un = y - 1.

Berdasarkan rumus suku ke-n :
Un = a + (n - 1)b
y - 1 = x + 1 + (n - 1)(1)
y - 1 = x + n
n = y - x - 1

Sebagai contoh, banyaknya bilangan asli diantara 10 dan 20 merupakan 20 - 10 - 1 = 9.


Bilangan asli berurutan yang habis dibagi k / kelipatan k, akan membentuk barisan aritmatika dengan beda k.


 Contoh 7 
Tentukan banyaknya bilangan asli diantara 100 dan 300, dengan syarat bilangan tersebut :
  • habis dibagi 3
  • tidak habis dibagi 3

Jawab :
Banyak bilangan asli diantara 100 dan 300 merupakan
300 - 100 - 1 = 199

  • Bilangan asli diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 3, yaitu : 102, 105, 107, ... , 297
          dengan banyaknya bilangan (n) :
          Un = a + (n - 1)b
          297 = 102 + (n - 1)3
          297 = 102 + 3n - 3
          3n = 198
          n = 66

  • Banyak bilangan asli diantara 100 dan 300 yang tidak habis dibagi 3 merupakan 199 - 66 = 133


Soal Latihan Barisan Aritmatika beserta Pembahasan


 Latihan 1 
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 dari suatu barisan aritmatika merupakan 30. Suku keberapakah dari barisan tersebut yang nilainya 15 ?

Jawab :
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 merupakan 30.
U3 + U13 = 30
(a + 2b) + (a + 12b) = 30
2a + 14b = 30
a + 7b = 15

Karena a + 7b = U8 , maka U8 = 15.
Jadi, suku yang nilainya 15 merupakan suku ke-8.


 Latihan 2 
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 suatu barisan aritmatika merupakan 17, sedangkan jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 merupakan 32. Tentukan jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 dari barisan tersebut!

Jawab :
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 merupakan 17.
U2 + U5 = 17
(a + b) + (a + 4b) = 17
2a + 5b = 17   .............................(1)

Jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 merupakan 32.
U4 + U6 = 32
(a + 3b) + (a + 5b) = 32
2a + 8b = 32   .............................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh
a = -4  dan  b = 5

Jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 merupakan
U8 + U10 = (a + 7b) + (a + 9b)
U8 + U10 = 2a + 16b
U8 + U10 = 2(-4) + 16(5)
U8 + U10 = 72


 Latihan 3 
Tepat tanggal 1 januari 2018, jumlah tabungan Andi sebesar Rp25.000,00 sedangkan jumlah tabungan Budi sebesar Rp15.000,00. Jika setiap harinya Andi menabung sebesar Rp1.000,00 dan Budi menabung sebesar Rp3.000,00, tanggal berapakah jumlah tabungan mereka menjadi sama besar?

Jawab :
Untuk tabungan Andi :
a = 25000  dan  b = 1000
Un = a + (n - 1)b
Un = 25000 + (n - 1)(1000)
Un = 25000 + 1000n - 1000
Un = 1000n + 24000   ......................(1)

Untuk tabungan Budi :
a = 15000  dan  b = 3000
Un = a + (n - 1)b
Un = 15000 + (n - 1)(3000)
Un = 15000 + 3000n - 3000
Un = 3000n + 12000   ......................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh hubungan
3000n + 12000 = 1000n + 24000
2000n = 12000
n = 6

Jadi, jumlah tabungan mereka akan menjadi sama besar pada tanggal 6 Januari 2018.


 Latihan 4 
Tentukan banyaknya bilangan asli 2 angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4.

Jawab :
Bilangan-bilangan asli yang berkelipatan m dan habis dibagi n akan membentuk barisan aritmatika dengan bedanya merupakan KPK dari m dan n.

Jadi, bilangan asli dua angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 12, yaitu:
12, 24, 36, ... , 96

Dengan banyaknya bilangan :
Un = a + (n - 1)b
96 = 12 + (n - 1)12
96 = 12 + 6n - 6
6n = 90
n = 15


 Latihan 5 
Tentukan banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3, diantara 99 dan 999 !

Jawab :
Bilangan asli kelipatan 5 diantara 99 dan 999, yaitu : 100, 105, 110, ... , 995.

Dengan banyaknya bilangan :
Un = a + (n - 1)b
995 = 100 + (n - 1)5
995 = 100 + 5n - 5
5n = 900
n = 180

Bilangan asli kelipatan 5 yang habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 15, yaitu :
105, 120, 135,  ... , 990.

Dengan banyaknya bilangan :
Un = a + (n - 1)b
990 = 105 + (n - 1)(15)
990 = 105 + 15n - 15
15n = 900
n = 60

Jadi, banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 merupakan
180 - 60 = 120.


 Latihan 6 
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, dengan jumlah ketiga bilangan tersebut merupakan 9. Jika jumlah kuadrat ketiga bilangan tersebut sama dengan 77, maka hasil kali ketiga bilangan tersebut merupakan...

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut merupakan x, y, z.
x + y + z = 9   ↔   x + z = 9 - y   ...........(1)
x2 + y2 + z2 = 77   ....................................(2)

Karena x, y, z barisan aritmatika, maka berlaku
2y = x + z   ................................................(3)

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
2y = 9 - y
3y = 9
y = 3

Untuk y = 3, persamaan (1) menjadi
x + z = 6

Untuk y = 3, persamaan (2) menjadi
x2 + z2 = 68

Karena x2 + z2 = (x + z)2 - 2xz, maka
(x + z)2 - 2xz = 68
(6)2 - 2xz = 68
2xz = -32
xz = -16

Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut merupakan
(xz)y = (-16)3 = -48


 Latihan 7 
Diketahui keliling sebuah segitiga merupakan 20 cm. Apabila sisi terpendek ditambah 1, ketiga sisinya membentuk barisan aritmatika. Jika sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, maka luas segitiga tersebut merupakan ...

Jawab :
Misalkan sisi sisi segitiga tersebut merupakan a, b, c, dengan a sisi terpendek dan c sisi terpanjang.
a + b + c = 20   ↔   a + c = 20 - b   ................(1)

(a + 1), b, c membentuk aritmatika, sehingga
2b = (a + 1) + c   ↔   2b - 1 = a + c  ...............(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2b - 1 = 20 - b
3b = 21
b = 7

Untuk b = 7 persamaan (1) menjadi
a + c = 13

Sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, akibatnya sudut di depan sisi b merupakan 60°. Perhatikan gambar!


Dengan aturan cosinus, maka
b2 = a2 + c2 - 2ac cos 60°
b2 = (a + c)2 - 2ac - 2ac (1/2)
b2 = (a + c)2 - 3ac
72 = (13)2 - 3ac
3ac = 120
ac = 40

Berdasarkan rumus luas segitiga :
L = 1/2(ac) sin 60°
L = 1/2(40) 1/2 √3
L = 10√3


0 Response to "Barisan Aritmatika"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel